El juego de la semana

A continuación irán apareciendo los acertijos que semanalmente propone el diario El País.
El primero seguro que os suena, en especial a los alumnos de 3º B de este año...

El monje budista y el teorema del punto fijo

 

Al amanecer, un monje sale de su monasterio y se dirige a un templo situado a una jornada de distancia. Su paso no es uniforme, y hace frecuentes paradas para contemplar el paisaje. Al anochecer llega al templo, donde pasa un par de días meditando, y al alba del tercer día emprende el viaje de regreso por el mismo camino. Al pasar junto a un árbol que le llamó la atención, deduce por su sombra que en el viaje de ida pasó por allí a la misma hora. Al principio le parece una curiosa coincidencia, pero tras reflexionar sobre ello llega a la conclusión de que era inevitable que hubiese un punto del camino por el que pasara a la misma hora en el viaje de ida y en el de vuelta, pese a haberlos efectuado a velocidades variables y jalonándolos con pausas arbitrarias.

El monje estaba lejos de poseer los conocimientos necesarios para expresar matemáticamente sus ideas, pero razonó de la siguiente manera…

¿Cómo llegó el monje a su conclusión?

 

Un filósofo de ida y vuelta

Y para terminar enmarañemos un poco más la cosa con ayuda de Kant; un filósofo de costumbres tan regulares que los habitantes de Königsberg lo llamaban “el prusiano puntual” y ponían en hora sus relojes al verlo pasar. Se cuenta que en cierta ocasión fue él mismo quien aprovechó para tal fin uno de sus meticulosos trayectos.

Una tarde Kant vio que el reloj de su casa se había parado, pues Lampe, su fiel criado, se había olvidado de darle cuerda antes de tomarse la tarde libre. Poco después el filósofo fue caminando a visitar a su amigo Schmidt, que vivía a un par de kilómetros. Al entrar en la casa de su amigo se fijó en la hora que marcaba un reloj de pared. Tras conversar un buen rato con Schmidt, Kant regresó a su casa por el mismo camino, andando, como de costumbre, con el paso constante y regular que no había cambiado en veinte años. No tenía la menor idea de cuánto había tardado en hacer el camino de regreso, pues Schmidt se había mudado recientemente y Kant no había cronometrado aún el trayecto. Sin embargo, apenas llegó a su casa puso el reloj en hora.

¿Cómo pudo saber Kant qué hora era?

Es probable que Kant, al ir a visitar a su amigo, pasara por alguno de los siete puentes de Königsberg; 

pero obviamente no pasó por todos ellos, aunque tuviera que cruzar toda la ciudad, pues basta con echar una ojeada al gráfico para ver que para ir de cualquier punto a cualquier otro basta con cruzar uno o dos puentes (o ninguno). Sin embargo, supongamos que aquella tarde Kant hubiera querido recorrer la ciudad entera pasando por todos los puentes una sola vez…
¿Hay algún punto a partir del cual un paseante puede efectuar un recorrido que pase una y solo una vez por todos los puentes de Königsberg?

Este acertijo dió pie a Euler, un famoso matemático a desarrollar la teoría de grafos.Hay numerosos acertijos lógicos directamente relacionados con los recorridos exhaustivos, como los que consisten en dibujar una figura sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por un mismo trazo.
El siguiente acertijo profundiza un poco más en este tema...se trata de una figura que Lewis Carroll, otro gran amante de los acertijos le envió por carta en 1869 a una de sus jóvenes amigas (L.C. es el autor de Alicia en el País de las Maravillas)

El siguiente acertijo profundiza un poco más en este tema...se trata de una figura que Lewis Carroll, otro gran amante de los acertijos le envió por carta en 1869 a una de sus jóvenes amigas:
(L.C. es el autor de Alicia en el País de las Maravillas)

¿Es posible dibujarla de un sólo trazo, esto es, sin levantar el lápiz del papel? 

Problemas matrimoniales

Cuatro matrimonios heterosexuales han quedado para cenar en un restaurante, pero cada persona llega por separado y en distinto momento.

¿Cuántas personas tendrán que haber llegado al restaurante, como mínimo, para que con certeza haya al menos un matrimonio?

¿Y para que haya con certeza un matrimonio concreto?

¿Y para que haya con certeza dos personas del mismo sexo?

¿Y para que haya con certeza dos mujeres?

A medida que van llegando, los comensales se saludan de diversas maneras: con un simple “hola”, un beso o un apretón de manos. Al final, todos han dado la mano a tres personas, menos el último en llegar, que solo se la ha dado a dos… ¿O no?

¿Es verosímil este intercambio de saludos?

Tras los saludos de rigor, los ocho comensales se sientan al azar alrededor de una mesa redonda. Por cierto, las mujeres se llaman Ana, Berta, Carmen y Dora, y los hombres, Antonio, Bernardo, Carlos y Daniel.

¿Cuál es la probabilidad de que Antonio se siente al lado de su mujer? ¿Y la de que al menos un matrimonio ocupe sillas contiguas? ¿Y la de que los cuatro matrimonios lo hagan?

Al final de la cena, Ana ha fumado 4 cigarrillos; Berta, 3; Carmen, 2; y Dora, 1. Antonio ha fumado lo mismo que su mujer; Bernardo, el doble que la suya; Carlos, el triple que la suya; y Daniel, cuatro veces más que la suya.

¿Cómo se llama la mujer de Carlos?

Bombones rellenos

Tenemos dos cajas de bombones, y en ambas hay algunos con envoltorio plateado y otros con envoltorio dorado. Independientemente del color de su envoltorio, un bombón puede estar relleno de licor o no. En ambas cajas, la proporción de bombones rellenos con envoltorio plateado es superior a la proporción de bombones rellenos con envoltorio dorado; es decir, si nos apetece un bombón relleno, tenemos más probabilidades de conseguirlo si cogemos uno de envoltorio plateado. Sin embargo, si juntamos todos los bombones en una sola caja, la probabilidad de coger un bombón relleno es mayor si lo elegimos con envoltorio dorado. ¿Es esto posible?